Question

（本小题满分13分）
已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）（2）8（3）或

（I）由已知得，抛物线的焦点为，则，又．
由，可得．
故椭圆的方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而．
由得．………………………………6分
设，则 ．所以，从而．
即又，
则直线的斜率为．
由    得
所以．
故．
又，．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，线段的长度取最小值．…………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当的长度取最小值时，．
则直线的方程为，此时，．
若椭圆上存在点，使得的面积等于，则点到直线的距离等于，
所以在平行于且与距离等于的直线上．
设直线．
则由 得．………………………………………10分
．即．
由平行线间的距离公式，得，
解得或（舍去）．
可求得或．…………………………………………13分