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5.已知f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0且a≠1),其中f(1)=2.
(1)求a的值以及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间[0,$\frac{3}{2}$]上的最小值.

分析 (1)根据f(1)=2,求出a的值,根据对数函数的性质求出函数的定义域即可;
(2)令g(x)=(1+x)(3-x),根据二次函数的性质求出g(x)的单调性,从而求出f(x)的单调性,求出函数的最小值即可.

解答 解:(1)f(1)=loga(1+1)+loga(3-1)=2loga2=2,解得;a=2,
故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x>0}\\{3-x>0}\end{array}\right.$,解得:-1<x<3,
故函数的定义域是(-1,3);
(2)由(1)得:f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(x+1)(3-x),
令g(x)=(1+x)(3-x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,x∈[0,$\frac{3}{2}$],
g(x)的对称轴是x=1,故g(x)在[0,1)递增,在(1,$\frac{3}{2}$)递减,
故f(x)=log2g(x)在[0,1)递增,在(1,$\frac{3}{2}$]递减,
故f(x)的最小值是f(0)或f($\frac{3}{2}$),
而f(0)=log23<f($\frac{3}{2}$)=log2$\frac{15}{4}$,
故f(x)的最小值是f(0)=log23.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查二次函数的性质以及对数函数的性质,是一道中档题.

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