Question

如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的
左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；
（3）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值.

Answer 1

（1）；（2）的最小值为，此时圆的方程为；
（3）详见解析.

试题分析：（1）利用圆的方程的求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、的关系求出，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点、的对称性，设点，将表示为的二次函数，结合的取值范围，利用二次函数求出的最小值，从而确定点的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点，求出、的方程，从而求出点、的坐标，最后利用点在椭圆上来证明为定值.
（1）依题意，得，，，，
故椭圆的方程为；
（2）点与点关于轴对称，设、， 不妨设，
由于点在椭圆上，所以，  （*）       
由已知，则，，
，
，
由于，故当时，取得最小值为，
由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到，
故圆的方程为：；
（3）设，则直线的方程为：，
令，得， 同理：，
故     （**）
又点与点在椭圆上，故，，
代入（**）式，得：

所以为定值.