Question

（本小题满分14分）已知椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂, |PF₁|=,  |PF₂|=.  
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线L过圆的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

Answer 1

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a="3.    "  …….2分
在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,
从而b²=a²－c²="4,                     " ………………………………………….5分
所以椭圆C的方程为＝1      ………………………………………….7分
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.  由圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.  从而可设直线l的方程为  y=k(x+2)+1,       ….9分
代入椭圆C的方程得 （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27="0.        " ….12分
因为A，B关于点M对称.  所以  解得，
所以直线l的方程为  即8x-9y+25="0.  " (经检验，符合题意) ….14分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且
                                                          ①
                                                          ②
由①－②得                ③
因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

略