Question

已知函数x≤0时，f（x）=2^x，x＞0时，f（x）=log

1

3

x，则函数y=f[f（x）]-1的零点个数有

3

个．

Answer 1

分析：设t=f（x），利用换元法将函数转化为y=f（t）-1，由f（t）-1=0，分别进行判断．

解答：解：当x≤0时，f（x）=2^x∈（0，1]，当＞0时，f（x）=log

1

3

x∈R．
设t=f（x），则y=f[f（x）]-1=f（t）-1，由f（t）-1=0，得f（t）=1．
若t≤0，则由f（t）=1得2^t=1，解得t=0，此时由f（x）=log

1

3

x=0，解得x=1．
若t＞0，则由f（t）=1得log

1

3

t=1，解得t=

1

3

，
此时由f（x）=log

1

3

x=

1

3

，解得x=（

1

3

） 

1

3

=

3	1 3

．
由2x=

1

3

得x=log2

1

3

＜0．
所以x=1或x=

3	1 3

或log2

1

3

．
 故函数的零点有3个．
故答案为：3．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法是解决本题的关键，同时注意指数方程和对数方程的应用，综合性较强．