Question

（2011•通州区一模）已知函数f(x)=ln(1+2x)+

a

x

，a∈R．
（I）证明当a＜0时，?x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）；
（II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，确定函数当a＜0时，x∈（0，+∞）时的单调性，即可证明f（x+1）＞f（x）；
（II）利用f（x）存在极值点，结合函数的定义域，可得方程，即可求a的取值范围．

解答：（I）证明：求导函数可得f′（x）=

2

1+2x

-

a

x2

∵a＜0时，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）解：令f′（x）=0，可得

2

1+2x

-

a

x2

=0（x＞-

1

2

）
∵f（x）存在极值点，
∴

2

1+2x

-

a

x2

=0在x＞-

1

2

时成立
∴a=

2x2

1+2x

x=0时，a=0，f（x）=ln（1+2x），函数不存在极值点；
x≠0时，a=

2

1 x2 + 2 x

=

2

( 1 x +1)2-1

∵x＞-

1

2

，∴(

1

x

+1)2-1＞0
∴

2

( 1 x +1)2-1

＞2
∴a＞2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．