Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[0，e3﹣4]
B.[0， +2]
C.[ +2，e3﹣4]
D.[e3﹣4，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点， 则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[ ，e]上有解，
﹣x3+1+a=﹣3lnxa+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[ ，e]上有解，
设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣ = ，
又由x∈[ ，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
分析可得：当 ≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，
又由g（ ）= +3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（ ）＜g（e），
故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，
故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[ ，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1=x3﹣31nx在区间[ ，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．