Question

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为

1

2

，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张．
（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4．求出概率即可求得分布列．
（Ⅱ）该顾客购买台式电脑的实际支出=支出-收入，即η=2300-100ξ．套公式即可求得期望．

解答：解：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

2

)4=

1

16

，
P(ξ=1)=

C

1 4

(

1

2

)4=

4

16

=

1

4

，
P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

2

)4=

6

16

=

3

8

P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

2

)4=

4

16

=

1

4

，
P(ξ=4)=

C

4 4

(

1

2

)4=

1

16

．
∴ξ分布列为：

（Ⅱ）∵ξ～B(4，

1

2

)，∴Eξ=4×

1

2

=2
由题意可知η=2300-100ξ
∴Eη=2300-100Eξ=2300-200=2100元

点评：此题重点考查二项分布的分布列和期望．考查学生对公式的记忆与应用．