Question

已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为

2

2

，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当直线l与圆x²+y²=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，化简即可得出；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知可得：|AB|=

2

，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x²+y²=1相切，可得m²+1=n²，直线与椭圆方程联立可得(m2+

1

2

)x2+2mnx+n2-1=0．利用根与系数的关系可得S四边形ACBD=

1

2

|AB||x2-x1|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）设点P（x，y），由题意可得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，
整理可得：

x2

2

+y2=1．
∴曲线E的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知可得：|AB|=

2

，当m=0时，不合题意．
当m≠0时，由直线l与圆x²+y²=1相切，可得：

|n|

m2+1

=1，即m²+1=n²，
联立

y=mx+n x2 2 +y2=1

消去y得(m2+

1

2

)x2+2mnx+n2-1=0．
△=4m2n2-4(m2+

1

2

)(n2-1)=2m2＞0，

x

1

=

-2mn+ △

2m2+1

，x2=

-2mn- △

2m2+1

，
所以，

x

1

+x2=

-4mn

2m2+1

，x1x2=

2n2-2

2m2+1

，
S四边形ACBD=

1

2

|AB||x2-x1|=

2 2m2-n2+1

2m2+1

=

2|m|

2m2+1

=

2

2|m|+ 1 |m|

≤

2

2

．
当且仅当2|m|=

1

|m|

，即m=±

2

2

时等号成立，此时n=±

6

2

．
经检验可知，直线y=

2

2

x-

6

2

和直线y=-

2

2

x+

6

2

符合题意．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．