Question

19．若点p在抛物线y²=2x上，A（a，0）
（1）请你完成下表：

实物a的值	-2	0	0.5	1	2
|PA|的最小值		0
相应的点P坐标

（2）若α∈R，求|PA|的最小值及相应的点P坐标．

Answer 1

分析 先设P点坐标为（x，y），利用两点间的距离公式求出点P与点A的距离的表达式；再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点A的距离的最小值，并求得P点坐标．

解答 解：（1）请你完成下表：

实数a的值	-2	0	0.5	1	2
|PA|的最小值	2	0	0.5	1	$\sqrt{3}$
相应的点P坐标	（0，0）	（（0，0）	（0，0）	（0，0）	（1，±$\sqrt{2}$）

（2）设P（x，y），则|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2-2a）x+{a}^{2}}$，x∈（0，+∞），
设函数g（x）=x²+（2-2a）x+a²，（x∈（0，+∞）），
其对称轴方程为x=a-1，
当a-1＜0，即a＜1时，g（x）=x²+（2-2a）x+a²在x≥0时为增函数，
∴|PA|_min=$\sqrt{g（0）}$=|a|，此时P（0，0）；
（2）当a-1≥0即a≥1时，
g（x）=x²+（2-2a）x+a²（x≥0）在（0，a-1）上递减，在（a-1，+∞）上递增，
∴|PA|_min=$\sqrt{g（a-1）}$=$\sqrt{2a-1}$，此时P（a-1，±$\sqrt{2a-2}$）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查二次函数在固定区间上的最值求法．在求二次函数在固定区间上的最值时，一定要注意分对称轴在区间左边，对称轴在区间右边以及对称轴在区间中间三种情况来讨论，此题是中档题．