Question

已知定义在R上的函数f(x)和数列{a_n}满足下列条件：

a₁=a,a_n=f(a_n-1)(n=2,3,4,…),a₂≠a₁,

f(a_n)-f(a_n-1)=k(a_n-a_n-1)(n=2,3,4,…).?

其中a为常数，k为非零常数?

(1)令b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*)，证明数列{b_n}是等比数列；?

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)当|k|＜1时，求a_n.

Answer 1

解析：本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念,考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力??

(1)证明:由b₁=a₂-a₁≠0,可得?

b₂=a₃-a₂=f(a₂)-f(a₁)=k(a₂-a₁)≠0.?

由数学归纳法可证b_n=a_n+1-a_n≠0(n∈N^*).??

由题设条件，当n≥2时,

 =.?

因此，数列{b_n}是一个公比为k的等比数列?

(2)解:由(1)知，b_n=k^n-1b₁=k^n-1(a₂-a₁)(n∈N^*).?

当k≠1时，b₁+b₂+…+b_n-1=(a₂-a₁)(n≥2);?

当k=1时，b₁+b₂+…+b_n-1=(n-1)(a₂-a₁)(n≥2).?

而b₁+b₂+…+b_n-1=(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)?

=a_n-a₁(n≥2),?

所以，当k≠1时,a_n-a₁=(a₂-a₁) (n≥2).?

上式对n=1也成立.所以数列{a_n}的通项公式为?

a_n=a+［f(a)-a］(n∈N^*).?

当k=1时,a_n-a₁=(n-1)(a₂-a₁)(n≥2).?

上式对n=1也成立?所以数列{a_n}的通项公式为?

a_n=a+(n-1)［f(a)-a］(n∈N^*).

(3)解:当|k|＜1时，?

?a_n={a+［f(a)-a］}?

=.