Question

16．已知F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为以双曲线的焦距2c为直径的圆与双曲线的一个交点，若△PF₁F₂面积的最小值为$\frac{1}{2}$a²，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 由题意得，△PF₁F₂为以P为直角顶点的直角三角形，$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|≥$\frac{1}{2}$a²，即|PF₁|•|PF₂|≥a²，再由勾股定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意得，△PF₁F₂为以P为直角顶点的直角三角形，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|≥$\frac{1}{2}$a²，即|PF₁|•|PF₂|≥a²，
则4c²=${\left|P{F}_{2}\right|}^{2}$+${\left|P{F}_{1}\right|}^{2}={（\right|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}\left|）}^{2}$+2|PF₁||PF₂|
≥4a²+2a²=6a²，
则e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：C．

点评 本题突出考查双曲线的定义、方程、性质，注重通性通法．另外试题构造了最小值情境，背景新颖，为考生灵活运用数学知识、思想方法解决实际问题提供了广阔的空间．