Question

11．函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （0，1）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$，结合图象可得．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则F（x）为偶函数且x≠0，
求导数可得F′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）x′}{{x}^{2}}$=$\frac{xg（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，
∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，
由函数为偶函数可得F（x）在（-∞，0）单调递增，
由f（1）=0可得F（1）=0，
∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$，
解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）
故选：D

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．