Question

设函数
（1）求的单调区间、最大值；
（2）讨论关于的方程的根的个数．

Answer 1

（1）函数的单调递增区间是；单调递减区间是；最大值为；（2）当时，关于的方程根的个数为0；当时，关于的方程根的个数为1；当时，关于的方程根的个数为2．

试题分析：（1）函数的定义域为全体实数．先求函数的导数，解不等式得单调减区间，解不等式得单调增区间，进而求得最大值；（2）构造函数＝，利用导数求得的最小值，根据这个最小值大于零、等于零、小于零讨论方程的根的个数．
试题解析：（1）．               1分
由得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是．            3分
∴的最大值为．              4分
（2）令＝．        5分
①当时，，∴．
∵，∴，∴在上单调递增．      7分
②当时，，，．
∵，∴，∴在（0,1）上单调递减．
综合①②可知，当时，．        9分
当即时，没有零点，故关于方程的根的个数为0；
当即时，只有一个零点，故关于方程的根的个数为1；   11分
当即时，当时，由（1）知．
要使，只需即．
当时，由(1)知．
要使，只需即，所以时，有两个零点  13分
综上所述
当时，关于的方程根的个数为0；
当时，关于的方程根的个数为1；
当时，关于的方程根的个数为2．         14分