Question

1．在△ABC中，tan（$\frac{π}{4}$+A）=2，求：
（1）$\frac{sin2A}{sin2A+co{s}^{2}A}$；
（2）若B=$\frac{π}{4}$，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用两角和与差的正切函数公式化简求出tanA的值，原式变形后代入计算即可求出值；
（2）由tanA的值求出cosA与sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值，再由sinB与c的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）∵tan（$\frac{π}{4}$+A）=$\frac{1+tanA}{1-tanA}$=2，
∴tanA=$\frac{1}{3}$，
则原式=$\frac{2sinAcosA}{2sinAcosA+co{s}^{2}A}$=$\frac{2tanA}{2tanA+1}$=$\frac{2×\frac{1}{3}}{2×\frac{1}{3}+1}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵tanA=$\frac{1}{3}$，A为三角形内角，
∴cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵B=$\frac{π}{4}$，c=3，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{4}$×3×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{9}{8}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．