Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，

PF

=

FB

，

BE

=λ

BC

（0＜λ＜1）．
（1）若EF∥平面PAC，求λ的值；
（2）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

Answer 1

分析：（1）通过平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，利用EF∥平面PAC，推出E为BC的中点，求λ的值；
（2）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出P，B，F，D，坐标，设BE=a，则E（a，1，0），通过平面PDE的法向量

n1

，平面ADE的法向量

n2

，利用

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，求出BE的值，使得二面角P-DE-A的大小为45°．

解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，若EF∥平面PAC，
则EF∥PC，又F是PB的中点，
∴E为BC的中点，
∴λ=

1

2

…（5分）
（2）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，

1

2

，

1

2

），
D（

3

，0，0），设BE=a，则E（a，1，0）
平面PDE的法向量

n1

=（1，

3

-a，

3

)，平面ADE的法向量

n2

=（0，0，1），
∴

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，⇒

3

1+( 3 -a)2+3

=

2

2

，
解得a=

3

-

2

或a=

3

+

2

（舍去），
当BE=

3

-

2

时，二面角P-DE-A的大小为45°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查逻辑推理能力，计算能力．