Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{{5^x}-m+1}}{{{5^x}+1}}$为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数的单调性，并用函数的单调性定义证明；
（3）求满足-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m的值；
（2）$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$在R上为单调增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$可化为f（-1）＜f（x-1）＜f（2），再结合单调性，求满足-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$的x的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以$\frac{{{5^{-x}}-m+1}}{{{5^{-x}}+1}}=-（\frac{{{5^x}-m+1}}{{{5^x}+1}}）$对x∈R恒成立，
化简得（（m-2）（5^x+1）=0，所以m=2…（4分）
（2）$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$在R上为单调增函数，…（6分）
证明：任意取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则${5^{x_1}}＜{5^{x_2}}$，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{5^{x_1}}+1）（{5^{x_2}}+1）}}＜0$
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上为单调增函数．…（10分）
（3）因为$f（x）=1-\frac{2}{{{5^x}+1}}$，所以f（-1）=-$\frac{2}{3}$，
所以-$\frac{2}{3}＜f（x-1）＜f（\frac{12}{13}）$可化为f（-1）＜f（x-1）＜$\frac{12}{13}$…（14分）
因为f（x）在R上为单调增函数，
所以-1＜x-1＜$\frac{12}{13}$，所以0＜x＜$\frac{25}{13}$…（16分）

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力，属于中档题．