Question

（2011•西城区二模）已知函数f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f(x)=

4

3

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据分母不为0，得到sin（x+

π

4

）不等于0，根据正弦函数的图象与性质可列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）把函数解析式中的分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，分子利用二倍角的余弦函数公式化简，并利用平方差公式分解因式，分子分母约分后可得出化简结果，然后根据f（x）的值得出cosx-sinx的值，最后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式化简，加上1减去1和原式保持相等，再把“1”化为sin²x+cos²x后，利用完全平方公式化为关于cosx-sinx的式子，把求出的cosx-sinx的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，sin(x+

π

4

)≠0，（2分）
所以x+

π

4

≠kπ(k∈Z)，（3分）
所以x≠kπ-

π

4

 (k∈Z)，（4分）
函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z }；（5分）
（Ⅱ）f(x)=

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

cos2x

sinxcos π 4 +cosxsin π 4

（7分）
=

2 cos2x

sinx+cosx

（8分）
=

2 (cos2x-sin2x)

sinx+cosx

=

2

(cosx-sinx)，（10分）
因为f(x)=

4

3

，所以cosx-sinx=

2 2

3

．（11分）
所以sin2x=2sinxcosx=1-（1-2sinxcosx）=1-（cosx-sinx）²=1-

8

9

=

1

9

．（13分）

点评：此题考查了正弦函数的图象与性质，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式以及特殊角的三角函数值，第二问利用凑项法把所求的式子化为关于cosx-sinx的式子是解题的关键，同时注意“1”的灵活变换．