Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点An（x_n，y_n）作一斜率kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
（1）求x_n与x_n+1之间的关系式；
（2）若x1=

11

7

，求证：数列

1

xn-2

+

1

3

是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）利用C上一点An（x_n，y_n）作一斜率kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），求出斜率，即可得到x_n与x_n+1之间的关系式；
（2）设an=

1

xn-2

+

1

3

，由（1）得an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=-2a_n，从而可得数列{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列；
（3）先确定xn=2+

1

(-2)n- 1 3

，证明（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜

1

2n-1

+

1

2n

，再分类讨论，即可证得结论．

解答：（1）解：∵C上一点An（x_n，y_n）作一斜率kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
∴k_n=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1xn

=-

1

xn+2

∴x_nx_n+1=x_n+2，即：x_n+1=1+

2

xn

．
（2）证明：设an=

1

xn-2

+

1

3

，由（1）得an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

1+ 2 xn -2

+

1

3

=-2（

1

xn-2

+

1

3

）=-2a_n
∵x1=

11

7

，∴a1=

1

x1-2

+

1

3

=-2，∴数列{

1

xn-2

+

1

3

}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）得an=(-2)n
∴xn=2+

1

(-2)n- 1 3

∴(-1)nxn=(-1)n•2+

1

2n- 1 3 •(-1)n

∴（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=

2n+2n-1

2n•2n-1+ 1 3 •2n-1- 1 9

＜

2n+2n-1

2n•2n-1

=

1

2n-1

+

1

2n

当n为偶数时，则（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1；
当n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1+（-1）ⁿx_n，而xn=2+

1

(-2)n- 1 3

＞0
∴1+（-1）ⁿx_n=1-x_n＜1
∴（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1
综上所述，当n∈N^*时，（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1成立．

点评：本题考查了数列的递推式，考查等比数列的证明，考查证明不等式，考查了学生推理能力和基本的运算能力．