Question

若函数f（x）=x³-ax²（a＞0）在区间上是单调递增函数，则使方程f（x）=1000有整数解的实数a的个数是________．

Answer 1

4
分析：先对函数求导，利用函数在区间上是单调递增函数的条件得出参数的取值范围，再根据函数图象的特征判断出方程f（x）=1000的解存在的范围，采用分离常数法将f（x）=1000变为a=x-，构造一个新的函数g（x）=x-，研究其图象特征即可．
解答：对f（x）求导得f'（x）=3x²+2ax
令f'（x）≥0以求原函数的单调增区间得3x²+2ax≥0，解得x≤0或x≥（2/3）a．
令f'（x）≤0以求原函数的单调减区间得3x²+2ax≤0，解得0≤x≤（2/3）a．
由题意知，区间（，+∞）处于增区间，故a≤，结合已知条件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
结合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，变形得a=x-，
记g（x）=x-，因为0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
观察知，g（x）在x＞0上是增函数（求导也可得出），
经试算，有g（10）=0，g（14）=8+，g（15）=10+，可见0＜g（x）≤10的解在区间（10，15）上，所以x的整数解只可能是11、12、13、14共4个，
而a=g（x），g（x）为增函数，所以相应地，a值也只有4个
故答案为4
点评：本题考点是函数的单调性与导数的关系，考查了函数的单调性与导数的对应，以及方程有整数解时利用二分法的思想确定方程解的范围，本题的技巧性较强，有一定的难度．