Question

以椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的中心O为圆心，

a2+b2

为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足|PQ|=2，S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ．
（Ⅰ）求椭圆ABC及其“准圆”的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的“准圆”的一条弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当OM•ON=0时，试问弦ED的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的左焦点F（-c，0）（c＞0），由S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ利用三角形的面积公式可得

1

2

ab=

6

2

•

1

2

bc，化为a=

6

2

c．由|PQ|=2利用两点间的距离公式可得

a2+b2

=2，联立

a= 6 2 c a2+b2 =2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）设直线ED的方程为y=kx+t，与椭圆的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系，由

OM

•

ON

=0，利用数量积可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可得出k与t的关系式，验证是否满足△＞0成立．利用点到直线的距离公式可得点O到弦ED的距离d，再利用弦长公式|ED|=2

r2-d2

即可得出．

解答：解：（I）设椭圆的左焦点F（-c，0）（c＞0），
由S_△OPQ=

6

2

S_△OFQ得

1

2

ab=

6

2

•

1

2

bc，化为a=

6

2

c．
由|PQ|=2可得

a2+b2

=2，
联立

a= 6 2 c a2+b2 =2 a2=b2+c2

，解得a²=3，b²=1，c²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

3

+y2=1，椭圆C的“准圆”的方程为x²+y²=4．
（II）设直线ED的方程为y=kx+t，与椭圆的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立

y=kx+t x2 3 +y2=1

，化为（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
∴x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1x2=

3t2-3

1+3k2

，可得y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=

t2-3k2

1+3k2

，
由

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，即

3t2-3

1+3k2

+

t2-3k2

1+3k2

=

4t2-3k2-3

1+3k2

=0，
∴t2=

3

4

(k2+1)，此时满足△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-3）=27k²+3＞0成立．
则点O到弦ED的距离d=

|t|

1+k2

=

t2 1+k2

=

3 4

=

3

2

，
∴|ED|=2

4- 3 4

=

13

是定值．

点评：本题综合考查了新定义、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识与基本技能，属于难题．