Question

（2011•宁德模拟）由方程2x|x|-y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x）．给出如下结论：
①f（x）是R上的单调递增函数； 
②对于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；
③存在x₀∈（-1，0），使得过点A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直线与曲线f（x）恰有两个公共点．
其中正确的结论为

①②③

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析：由方程2x|x|-y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，分别画出当x≥0和x＜0的函数图象，它们分别是抛物线的一部分．如图所示．结合观察图象可得答案．

解答：解：由方程2x|x|-y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），
则f（x）=2x|x|-1=

2x2-1，x≥0 -2x2-1，x＜0

，
分别画出当x≥0和x＜0的函数图象，它们分别是抛物线的一部分．如图所示．
观察图象可知：
①f（x）是R上的单调递增函数； 正确；
②图象关于点Q（0，-1）对称，故对于任意x∈R，f（x）+f（-x）=-2恒成立；正确；
③当点B是过点A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直线与曲线相切时的切点时，过点A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直线与曲线f（x）恰有两个公共点，故存在x₀∈（-1，0），使得过点A（1，f（1）），B（x₀，f（x₀））的直线与曲线f（x）恰有两个公共点；正确．
故其中正确的结论为 ①②③．
故答案为：①②③．

点评：本小题主要考查分段函数、函数单调性的应用、函数对称性的应用、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．