Question

19．已知两条直线2x-3y+1=0，3x-4y-1=0相交于点P，分别求过点P且满足下列条件的直线方程．
（1）过原点；
（2）垂直于直线3x+3y-4=0；
（3）与点A（2，0）的距离等于$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+1=0}\\{3x-4y-1=0}\end{array}\right.$，解得交点P（7，5），求出斜率即可得出．
（2）设垂直于直线3x+3y-4=0的方程为3x-3y+m=0，把点P（7，5）代入解出即可；
（3）由题意可知斜率存在，设直线方程为y-5=k（x-7），即kx-y+5-7k=0，利用点到直线的距离公式夹角得出．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+1=0}\\{3x-4y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=5}\end{array}\right.$，可得交点P（7，5），
所求直线又过原点可得：$y=\frac{5}{7}x$，即5x-7y=0．
（2）设垂直于直线3x+3y-4=0的方程为3x-3y+m=0，把点P（7，5）代入可得：3×7-3×5+m=0，解得m=-6．
∴要求的直线方程为：3x-3y-6=0，即x-y-2=0．
（3）由题意可知斜率存在，设直线方程为y-5=k（x-7），即kx-y+5-7k=0，
∴$\frac{|2k+5-7k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，化为4k²=1，解得k=$±\frac{1}{2}$，
∴要求的直线方程为：$y-5=±\frac{1}{2}（x-7）$，化为x-2y+3=0，或x+2y-17=0．

点评 本题考查了直线的交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．