Question

11．设F₁，F₂分别是椭圆D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线交椭圆D于A，B两点，F₁到直线AB的距离为2$\sqrt{3}$，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为2$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆D的方程；
（2）设过点F₂的直线l被椭圆D和圆C：（x-2）²+（y-2）²=4所截得的弦长分别为m，n，当m•n最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得c的值，根据三角形的面积公式ab=$\sqrt{5}$，由a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，求得O到直线l的距离d，代入椭圆方程，利用弦长公式，求得m和n，利用基本不等式的性质，即可求得t的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）设F₁坐标为（-c，0），F₂坐标为（c，0），（c＞0），
则直线AB的方程为$y=\sqrt{3}（{x-c}）$，即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}c=0，\frac{{|{-\sqrt{3}c-\sqrt{3}c}|}}{{\sqrt{3+1}}}=2\sqrt{3}，c=2$；
又$S=\frac{1}{2}•2a•2b=2\sqrt{5}$，
∴$ab=\sqrt{5}$，解得：a²=5，b²=1，
∴椭圆D的方程为$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$；
（2）易知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=ty+2，则圆心C到直线l的距离为$d=\frac{{|{2t}|}}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$，
∴$n=2\sqrt{{2^2}-{d^2}}=\frac{4}{{\sqrt{{t^2}+1}}}，\left\{\begin{array}{l}x=ty+2\\ \frac{x^2}{5}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（t²+5）y²+4ty-1=0，
∴$m=\sqrt{1+{t^2}}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{2\sqrt{5}（{{t^2}+1}）}}{{{t^2}+5}}$，
∴$m•n=\frac{{8\sqrt{5}•\sqrt{{t^2}+1}}}{{{t^2}+5}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{{\sqrt{{t^2}+1}+\frac{4}{{\sqrt{{t^2}+1}}}}}≤2\sqrt{5}$（当且仅当$\sqrt{{t^2}+1}=\frac{4}{{\sqrt{{t^2}+1}}}$，即$t=±\sqrt{3}$时，等号成立），
∴直线方程为$x-\sqrt{3}y-2=0$或$x+\sqrt{3}y-2=0$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．