Question

（2012•蓝山县模拟）已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴上，

.

AM

=

1

2

（

.

AB

+

.

AC

），设B的运动轨迹为曲线E．
（1）求B的运动轨迹曲线E的方程；
（2）过点P（2，4）的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足

.

QP

=

.

PN

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得M为BC的中点，由C为直角，可得

CB

•

CA

=0，代入坐标表示可求曲线E的轨迹方程
（2）由

QP

=

PN

可得P是QN的中点，设Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段QN的 中点P（2，4），L：y-4=k（x-2）
方法一：由x12=4y1，x22=4y2，两式相减，结合中点坐标公式可求直线l的斜率k，进而可求直线方程
方法二：联立直线与曲线方程

y-4=k(x-2) x2=4x

可得x²-4kx+8k-16=0，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求K，进而可求直线方程

解答：解：（1）由

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得M为BC的中点（2分）
设B（x，y），则M（0，

1

2

y），C（-x，0）（4分）
∵C为直角，故

CB

•

CA

=0
∵

CB

=(2x，y)，

CA

=(x，-8)
∴2x²-8y=0即x²=4y（5分）
B的轨迹曲线E的方程为x²=4y（（x≠0）6分）
（2）∵

QP

=

PN

P是QN的中点
设Q（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段QN的 中点P（2，4）
设L：y-4=k（x-2）
方法一：则x12=4y1，x22=4y2
两式相减可得，4（y₁-y₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）（8分）
∴直线l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=1（11分）
直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0
方法二：联立直线与曲线方程

y-4=k(x-2) x2=4x

可得x²-4kx+8k-16=0（*）
△=16（k²-2k+4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）
∴x₁+x₂=4k=4
∴k=1
∴直线L的方程为x-y+2=0（12分）

点评：本题主要考察了向量的基本运算及向量的坐标表示的简单应用，直线与曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，注意解法一中的设而不求的解法的应用．