【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程,结合点差法解决中点弦问题,求出直线斜率,求解直线方程;
(2)设直线的方程,联立直线和椭圆,根据交点坐标关系,求出线段的垂直平分线方程,得出的表达式,利用函数关系求解取值范围.
(1)由题意,得,解得
所以椭圆的标准方程是.
设点,,则
两式相减得,
又,,代入得,即,
故所求直线的方程是,即.
(2)(i)当直线与轴垂直时,,符合题意.
(ii)当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,.
联立方程
消去,可得,易知.
设,,线段的中点为,
则,,
所以,
所以线段的中点的坐标为.
由题意可知,,,
故直线的方程为.
令,得,即.
当时,得,当且仅当时等号成立;
当时,得,当且仅当时等号成立.
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】如图,圆, 是圆M内一个定点,P是圆上任意一点,线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为曲线E
(1)求曲线E的方程;
(2)过点D(0,3)作直线m与曲线E交于A,B两点,点C满足 (O为原点),求四边形OACB面积的最大值,并求此时直线m的方程;
(3)已知抛物线上,是否存在直线与曲线E交于G,H,使得G,H的中点F落在直线y=2x上,并且与抛物线相切,若直线存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
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【题目】设点,分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为0.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点,是直线上的两点,且,,求四边形面积的最大值.
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【题目】已知数列的各项均为正数,前项和为,首项为2.若对任意的正整数,恒成立.
(1)求,,;
(2)求证:是等比数列;
(3)设数列满足,若数列,,…,(,)为等差数列,求的最大值.
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【题目】已知椭圆 ,四点,,,中恰有三点在椭圆上.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过的右焦点作斜率为的直线与交于,两点,直线与轴交于点,为线段的中点,过点作直线于点.证明:,,三点共线.
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【题目】若四面体的三组对棱分别相等,即,,,则________.(写出所有正确结论的编号)
①四面体每个面的面积相等
②四面体每组对棱相互垂直
③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
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【题目】抛物线M:的焦点为F,过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A,B,A关于x轴的对称点为.
(1)求证:直线过定点,并求出这个定点;
(2)若的垂直平分线交抛物线于C,D,四边形外接圆圆心N的横坐标为19,求直线AB和圆N的方程.
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