Question

（2010•江西模拟）已知函数f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

，（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，求y=g（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中角A，B，C，的对边分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=b•cosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的二倍角公式与辅助角公式可将f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

化为：f(x)=sin(2ωx+

π

6

)，由最小正周期为4π可求得ω，从而可求得f（x），函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，可求得g（x），从而可求得其单调递增区间；
（2）由正弦定理可将（2a-c）cosB=b•cosC，转化为：2sinAcosB=sin（B+C），从而可求得cosB=

1

2

，B=

π

3

，继而可得0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，f（A）的取值范围可求．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

6

)，
又

2π

2ω

=4π∴ω=

1

4

，f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)，
∵y=g（x）与y=f（x）关于x=π对称，
∴g(x)=f(2π-x)=sin(

2π-x

2

+

π

6

)=sin(π-(

x

2

-

π

6

))=sin(   

x

2

-

π

6

)，
由2k-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得：4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

π

3

，（k∈z）
∴g（x）的单调递增区间是[4kπ-

2π

3

，4kπ+

π

3

]（k∈z）；
（2）由正弦定理：（2sinA-sinC）cosB=sinB•cosC，2sinAcosB=sin（B+C）
∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)

点评：本题考查二倍角的正弦，着重考查二倍角的正弦，辅助角公式的应用及正弦函数的单调性，属于中档题．