Question

11．设a、b、c∈R⁺，求证：$\frac{{a}^{2}}{a+b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+a}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

Answer 1

分析 由（a+b+b+c+c+a）（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+a}$），展开后，由基本不等式，化简整理，即可得证．

解答 证明：由a、b、c∈R⁺，
由（（a+b）+（b+c）+（c+a））（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+a}$）
=a²+b²+c²+（$\frac{（a+b）•{b}^{2}}{b+c}$+$\frac{（b+c）•{a}^{2}}{a+b}$）+（$\frac{（a+b）•{c}^{2}}{c+a}$+$\frac{（c+a）•{a}^{2}}{a+b}$）+（$\frac{（b+c）•{c}^{2}}{c+a}$+$\frac{（c+a）•{b}^{2}}{b+c}$）
≥a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）²，
当且仅当a=b=c时，取得等号．
即有$\frac{{a}^{2}}{a+b}$+$\frac{{b}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}}{c+a}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查化简整理能力，属于中档题．