Question

在平面直角坐标系xOy中，不等式组

x≥0 y≥0 3x+4y-10≤0

所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点P（x，y）．
（1）若x，y∈Z，列出点P的所有可能的结果；
（2）若x，y∈R，求|OP|≤2的概率．

Answer 1

分析：（1）从x等于0开始，验证y的值，得到满足约束条件的坐标，验证完0再验证x等于1，依次整理得到所有的可能结果．
（2）得到所有的点对应的区域和满足条件的点对应的区域的面积，概率等于面积之比，得到要求的|OP|≤2的概率．

解答：解：（1）若x，y∈Z，则点P的个数共有8个，列举如下：（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），
（0，1），（1，1），（2，1），（0，2）．                
（2）若x，y∈R，则区域W的面积是μW=

1

2

×

10

3

×

5

2

=

25

6

．                
满足|OP|≤2的点P构成的区域为A={（x，y）|x≥0，y≥0，3x+4y-10≤0，x²+y²≤4}．
注意到直线3x+4y-10=0与圆x²+y²=4相切，
故|OP|≤2的概率为

μA

μW

=

π

25 6

=

6π

25

．

点评：本题考查几何概型，本题解题的关键是做出试验发生包含的事件对应的图形的面积和满足条件的事件对应的面积．