Question

一个袋中有若干个大小相同的小球，分别编有一个1号，两个2号，m个3号和n个4号．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个4号球的概率是

2

3

．若袋中共有10个球，
（i）求4号球的个数；
（ii）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（i）由题意可得：从袋中10个球中任意摸出2个球，共有的取法有C₁₀²，至少有1个4号球的取法有C_n²+C_n¹C_10-n¹，结合题意即可求出答案．
（ii）由题意可得：随机变量ξ可能取的值为3，4，5，6，7，8，根据题意分别求出其发生的概率，进而求出离散型随机变量的分布列与数学期望．

解答：解：（i）由题意可得：从袋中10个球中任意摸出2个球，共有的取法有C₁₀²，
至少有1个4号球的取法有C_n²+C_n¹C_10-n¹，
因为至少得到1个4号球的概率是

2

3

，即

C n 2 + C 1 n C 1 10-n C 2 10 = 2 3

，
所以n=4．
（ii）由题意可得：随机变量ξ可能取的值为3，4，5，6，7，8，
所以由题意可得：P(ξ=3)=

2

45

，p(ξ=4)=

4

45

，p(ξ=5)=

10

45

=

2

9

，p(ξ=6)=

11

45

，p(ξ=7)=

12

45

=

4

15

，p(ξ=8)=

6

45

=

2

15

，
所以ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6	7	8
p	2 45	4 45	10 45	11 45	12 45	6 45

所以ξ的数学期望为：Eξ=6．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望．