Question

已知圆C:,直线L：.
（1）求证：对直线L与圆C总有两个不同交点；
（2）设L与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若定点P（1,1）分弦AB所得向量满足，求此时直线L的方程.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）直线方程为或.

试题分析：（1）由直线L的方程可知，直线L恒过定点（1，1），而这个点在圆内，所以直线L与圆C总有两个不同的交点；（2）设M（x,y）.当M不与P重合时，连接CM、CP，由于P是AB的中点，所以CMMP，用勾股定理便可得所求方程（或用向量的数量积等于0也可）.（3）设A（），B（）由可得.将直线与圆的方程联立得.由韦达定理得，再将此与联立得，代入方程得，从而得直线的方程.
试题解析：（1）直线恒过定点（1，1），且这个点在圆内，故直线L与圆C总有两个不同的交点.
（2）当M不与P重合时，连接CM、CP，则CMMP，设M（x,y）
则
化简得：
当M与P重合时，满足上式.
（3）设A（），B（）由得.
将直线与圆的方程联立得：       ..（*）

可得，代入（*）得
直线方程为或.