Question

【题目】设函数．

（1）当时，解方程；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a为常数，且函数在区间上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）当时，原方程化为，先解得即可得结果；（2）不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，求出函数的最大值即可得结果；（3）函数在上存在零点，即方程在上有解，分类求出的值域即可得结果.

试题解析：（1）当时， ，所以方程即为：

解得： 或（舍），所以；

（2）当时，若不等式在上恒成立；

当时，不等式恒成立，则；

当时， 在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上单调增， ， ，则，

得；则实数的取值范围为；

（3）函数在上存在零点，即方程在上有解；

设

当时，则，且在上单调增，

所以， ，

则当时，原方程有解，

则；

当时， ，

在上单调增，在上单调减，在上单调增；

当，即时， ，

则当时，原方程有解，则；

当，即时， ，

则当时，原方程有解，则；

当时， ，

当，即则时， ，

则当时，原方程有解，则；

当，即则时， ，

则当时，原方程有解，则；

综上，当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为．