Question

19、已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1．求数列{b_n}的通项公式；若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，计算f′（1）的结果．

Answer 1

分析：（1）把点的坐标代入到直线解析式中得到s_n+1，推出s_n，相减得到a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）根据b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1得到{b_n}是公比为2的等比数列写出通项公式即可；
（2）因为f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，求出f′（x），则f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n，由（1）知f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n项和，利用错位相减法得到即可．

解答：解：（1）依题意可得s_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3
∴当n≥2时，s_n=4a_n-1+3，
两式相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）即b_n=2b_n-1（n≥2）
∴{b_n}是公比为2的等比数列，又b₁=a₂-2a₁=4
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹
（2）f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1
∴f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
由（1）解知f′（1）=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
∴f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n项和，
错位相减法得f′（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²

点评：利用等比数列通项公式的能力，运用导数运算的能力．