Question

已知

a

=(x，0)，

b

=(1，y)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程，且画出轨迹C的草图；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与上述曲线C交于不同的两点A、B，求实数k和m所满足的条件；
（3）在（2）的条件下，若另有定点D（0，-1），使|AD|=|BD|，试求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)⇒(

a

+

3

b

)•(

a

-

3

b

)=0
⇒

a

2=3

b

2⇒x²=3（y²+1）
∴P（x，y）的轨迹C的方程为

x2

3

-y2=1
其草图如右．（注：不画渐近线，不得分）
（2）

y=kx+m x2-3y2-3=0

⇒(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

1-3k2≠0 △＞0

⇒

3k2≠1(k≠0) 3k2＜m2+1

（*）
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），A、B中点为H（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

，
由题意，有AB⊥DH⇒k_AB•k_DH=-1
⇒k•

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-1
⇒3k²=4m+1，
代入（*），得

4m+1≠1 4m+1＞0 4m+1＜m2+1

⇒-

1

4

＜m＜0或m＞4．