Question

【题目】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.

（Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程；

（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲线的参数方程为：(为参数)；的极坐标方程为；（Ⅱ）16.

【解析】

(I)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

(II)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.

(Ⅰ) 由题意：曲线的直角坐标方程为：，

所以曲线的参数方程为(为参数)，

因为直线的直角坐标方程为：，

又因曲线的左焦点为，将其代入中，得到，

所以的极坐标方程为 .

（Ⅱ）设椭圆的内接矩形的顶点为，，，，

所以椭圆的内接矩形的周长为：，

所以当时，即时，椭圆的内接矩形的周长取得最大值16 .