Question

【题目】已知函数y=f（x）满足以下条件：①定义在正实数集上；②f（ ）=2；③对任意实数t，都有f（xt）=tf（x）（x∈R+）．
（1）求f（1），f（ ）的值；
（2）求证：对于任意x，y∈R+ ， 都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）若不等式f（loga（x﹣3a）﹣1）﹣f（﹣ ）≥﹣4对x∈[a+2，a+ ]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=0，则f（x0）=0f（x）=0，即f（1）=0；

由f（ ）=2，则f（ ）=2f（ ）=4

（2）证明：设0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=am，y=an，

f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a），

f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．

则有f（xy）=f（x）+f（y）

（3）解：先证f（x）在x＞0上递减．

由于f（x）=f（ ）= f（ ）=2 ，则f（x）在x＞0上递减．

再求a的取值范围，a＞0，a≠1，

又不等式f（loga（x﹣3a）﹣1）﹣f（﹣ ）≥﹣4对x∈[a+2，a+ ]恒成立，

则x﹣3a＞0，x﹣a＞0，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，a+2﹣3a＞0，且a+2﹣a＞0，

则0＜a＜1，在x＞0上，loga（x﹣3a）﹣1＞0，即x﹣3a＜a，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，

则有a+ ＜4a，解得，a＞ ；

﹣loga ＞0，即x﹣a＞1，对x∈[a+2，a+ ]恒成立，a+2﹣a＞1恒成立．

由（2）中令x= ，y=4，则f（1）=f（ ）+f（4），f（4）=﹣4，

f（loga（x﹣3a）﹣1）≥f（4）+f（﹣ loga（x﹣a））=f（﹣loga（x﹣a）），

由于f（x）在x＞0上递减，则loga（x﹣3a）+loga（x﹣a）≤1，等价为loga（x2﹣4ax+3a2）≤1．

由0＜a＜1，则x=2a在[a+2，a+ ]的左侧，

令g（x）=loga（x2﹣4ax+3a2），g（x）在[a+2，a+ ]递减，

g（x）max=g（a+2）≤1，即loga（4﹣4a）≤1，即4﹣4a≥a，

解得，a ．

综上，可得， ＜a≤

【解析】（1）令t=0，即可得到f（1），再令x= ，t=2，即可得到；（2）设0＜a＜1，由于x，y＞0，存在m，n，使x=am ， y=an ， 代入计算即可得证；（3）运用对数函数的单调性，证得f（x）在x＞0上递减．由条件结合对数的真数大于0，解得，a＞ ；由loga（x﹣3a）+loga（x﹣a）≤1，等价为loga（x2﹣4ax+3a2）≤1．令g（x）=loga（x2﹣4ax+3a2），根据g（x）的单调性，即可得到a的范围．