Question

给定：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁．a₂．a₃a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的“企盼数”，则区间[1，2013]内所有“企盼数”的和为（　　）

• A、2026
• B、2024
• C、2028
• D、2014

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2），再根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，得k=2ⁿ-2，由区间[1，2013]确定n的取值，求出所有的企盼数的和．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026；
故选：A．

点评：本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，是易错题目．