Question

【题目】已知函数g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，其中a∈R．
（1）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若x1∈（0，1），x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，

∴g′（x）=a+ ﹣ = ，

若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，

∴a＞ = ，求出 的最大值即可，

∵ ≤ = （x=1时等号成立），

∴a ；

（2）解：当a=2时，可得，g（x）=2x﹣ ﹣5lnx，

h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

x1∈（0，1），x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，

∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，

g′（x）= = ，令g′（x）=0，

解得x1= ，x2=2，

当0＜x＜ ，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；

当 ＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；

∵x1∈（0，1），

∴g（x）在x= 出取得极大值，也是最大值，

∴g（x）max=g（ ）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，

∵h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

若m≤3，hmax（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，

∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥ ，

∵ ＞3，故m不存在；

若m＞3时，hmax（x）=h（1）=5﹣m，

∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，

实数m的取值范围：m≥8﹣5ln2

【解析】（1）将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，求出a的范围；（2）对h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意x1∈（0，1），x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，只要要求g（x）max≥h（x）max ， 即可，从而求出m的范围；
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．