Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为2．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）先将函数y=f （x） 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0， ]上所有根之和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a=cos2x+ sin2x+a+1

所以f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，因为x∈[0， ]，所以2x+ ∈[ ， ]．

f（x）min=﹣1+a+1=2，所以a=2．…

（Ⅱ）依题意得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，由g（x）=4得sin（4x﹣ ）=

4x﹣ =2kπ+ 或4x﹣ =2kπ+

所以x=

所以，所有根的和为 ．…

【解析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简后，再根据三角函数的值域及f（x）的最小值求得a的值；（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换特点得到函数y=g（x）的具体方程，再根据三角函数的求值得到方程g（x）=4在区间[0， π 2 ]上所有根，最后求和即可.
【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能得出正确答案．