Question

（2012•东城区一模）已知函数f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx-b在（x₀，0）处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求x₀和b的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ） 若函数F(x)=f′(x)+

a

x

有最小值m，且m＞2e，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，由函数f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx-b在（x₀，0）处的切线斜率为零，即可求x₀和b的值；
（Ⅱ）确定f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，可得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值，即可证得结论；
（Ⅲ）由F(x)=f′(x)+

a

x

=x+

a-3e2

x

+2e（x＞0），分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，结合函数F(x)=f′(x)+

a

x

有最小值m，且m＞2e，即可求实数a的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：求导函数可得f′(x)=x+2e-

3e2

x

．…（2分）
由题意有f'（x₀）=0，即x0+2e-

3e2

x0

=0，解得x₀=e或x₀=-3e（舍去）．…（4分）
∴f（e）=0即

1

2

e2+2e2-3e2lne-b=0，解得b=-

1

2

e2．            …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx+

e2

2

(x＞0)，
f'（x）=x+2e-

3e2

x

=

(x-e)(x+3e)

x

(x＞0)．
在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，
于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．                       …（9分）
故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．                                   …（10分）
（Ⅲ）解：F(x)=f′(x)+

a

x

=x+

a-3e2

x

+2e（x＞0）．
当a＞3e²时，则F(x)=x+

a-3e2

x

+2e≥2

a-3e2

+2e，当且仅当x=

a-3e2

时等号成立，
故F（x）的最小值m=2

a-3e2

+2e＞2e，符合题意；                  …（13分）
当a=3e²时，函数F（x）=x+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当a＜3e²时，函数F(x)=x+

a-3e2

x

+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数a的取值范围是（3e²，+∞）．                                    …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求函数的最值是关键．