Question

（2012•扬州模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g(α)=

2

3

+1，α为第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用平移规律：“左加右减”，确定出f（x）平移后的解析式g（x），根据g（α）的值列出关系式，整理后得出sin（2α-

π

4

）的值，由α为第一象限角，得出2α-

π

4

的范围，再根据sin（2α-

π

4

）的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-

π

4

）的值，将所求式子中的角2α变形为（2α-

π

4

）+

π

4

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意得：g（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
由A（0，-1），得

2

sin（2α-

π

4

）+1=

2

3

+1，
∴sin（2α-

π

4

）=

1

3

，
又α为第一象限角，
∴2α-

π

4

∈（4kπ-

π

4

，4kπ+

3π

4

），k∈Z，
又0＜sin（2α-

π

4

）＜

1

3

＜

2

2

知，
∴2α-

π

4

∈（4kπ，4kπ+

π

2

），k∈Z，
∴cos（2α-

π

4

）=

2 2

3

，
∴sin2α=sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]=

2

2

（

1

3

+

2 2

3

）=

2 +4

6

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角函数图象的变换，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．