Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=n2+1，数列{b_n}满足：bn=

2

an+1

，前n项和为T_n，设C_n=T_2n+1-T_n．   
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜

16

21

成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

，求数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，知c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，所以{c_n}是递减数列，从而得出存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜

16

21

成立．

解答：解：（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴bn=

2 3 ，(n=1) 1 n ，(n＞1)

（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵Cn+1-Cn=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

=

1

2n+3

-

1

2n+2

＜0
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时，C1=

1

2

+

1

3

=

5

6

＞

16

21

当n=2时，C2=

1

3

+

1

4

+

1

5

=

47

60

＞

16

21

当n=3时，C3=

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

=

319

420

＜

320

420

=

16

21

当n≥3时，Cn≤C3＜

16

21

故，k_min=3．

点评：本题考查数列与不等式的综合、数列的求和，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细求解．