Question

（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为

3

．
（1）若AB=2

2

，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当BC=

21

时，求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求
（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则

AO

=

AD

+

DO

，结合O为△ABC的外心，可得

DO

•

BC

=0，从而可求

解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
于是

3

=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，所以bc=4． …（3分）
因为c=AB=2

2

，所以b=CA=

2

．
由余弦定理得BC=a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2+4

=

2+8+4

=

14

． …（6分）
（2）由BC=

21

得b²+c²+4=21，即b2+

16

b2

-17=0，解得b=1或4．…（8分）
设BC的中点为D，则

AO

=

AD

+

DO

，
因为O为△ABC的外心，所以

DO

•

BC

=0，
于是

AO

•

BC

=

AD

•

BC

=

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AC

-

AB

)=

b2-c2

2

．…（12分）
所以当b=1时，c=4，

AO

•

BC

=

b2-c2

2

=-

15

2

；
当b=4时，c=1，

AO

•

BC

=

b2-c2

2

=

15

2

．…（14分）

点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．