Question

【题目】如图，已知椭圆： 的离心率为， 、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．

（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；

（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线的斜率存在时， ， ， ，当直线的斜率不存在时， ，故综合的最大值为.

试题解析：

（Ⅰ）．

，故．

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设： 与轴的交点为，

代入椭圆方程得，

设， ，则， ，

由，得，

得，

，得或．　

或，所以过定点或，

点为右端点，舍去，

，

令（），

， ， ，

当直线的斜率不存在时， ， ，

，即，解得， ，

，

所以的最大值为.