Question

已知函数f（x）=x³-3x+m只有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．[-2，2]

B．{-2，2}

C．（-2，2）

D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x³-3x+m只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．

解答：解：∵f（x）=x³-3x+m，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，
当x=1时，函数f（x）取得极小值，
要使函数f（x）=x³-3x+m只有两个零点，
则满足极大值等于0或极小值等于0，
即极大值f（-1）=-1+3+m=m+2=0，解得m=-2．
极小值f（1）=1-3+m=m-2=0，解得m=2．
综上实数m的取值范围：m=-2或m=2．
故选：B．

点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．