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已知异面直线a、b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有几条?将题目中的30°改为10°、25°、65°、80°、90°,情况又如何呢?变为0°<≤90°时呢?

答案:
解析:

  答案:符合题意的直线有且仅有2条.10°时:0条;25°时:有且只有1条;65°时:有且只有3条;80°时:有且只有4条;90°时:有且只有1条.

  当0°<<25°时,0条;当=25°时,有且只有1条;当25°<<65°时,有且只有2条;当=65°时,有且只有3条;当65°<<90°时,有且只有4条;当=90°时,有且只有1条.

  思路解析:过点P作直线∥a,∥b,则相交.设确定的平面为α,

  (1)若过点P的直线l在α内,则l必为平分线,此时与成25°角或65°角,从而与a、b成25°角或65°角,不合题意.

  (2)对于所成的50°角,设过这个角的平分线且与α垂直的平面为β.在β内,当过点P的直线从这个角平分线的位置向α的垂线位置运动的过程中,该直线与所成的角相等且从25°逐渐增加到90°,从而必有一位置等于30°,这样的直线在β内有两条,它们关于α对称.

  (3)对于所成的130°角,角平分线与成65°角,从而过点P以这个角平分线为射影的直线不能与成50°角.

  综上,知符合题意的直线有且仅有2条.


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