【题目】已知函数.
(1)求曲线的斜率为2的切线方程;
(2)证明:;
(3)确定实数的取值范围,使得存在
,当
时,恒有
.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)求导,根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标,按照点斜式写出方程;
(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式;
(3)分类讨论,当时,不满足题意;当
时,根据不等式的性质得出不满足题意;当
时,构造函数,利用导数证明即可.
(1)函数的定义域为
.
由得
.
令,即
,得
,
(舍).
又,
所以曲线的斜率为2的切线方程为
(2)设,则
.
令得
,
(舍).
当时,
;
当时,
.
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
所以.
所以.
(3)由(2)可知,
① 当时,
,
所以不存在,当
时,恒有
;
所以不符合题意.
②当时,对于
,
,
所以不存在,当
时,恒有
;
所以不符合题意.
③当时,设
.
因为,
令即
.
因为,
解得.
又因为,
所以.
取.
当时,
;
所以在
上单调递增.
所以.
即.
所以符合题意.
所以实数的取值范围是
.
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【题目】某游戏棋盘上标有第、
、
、
、
站,棋子开始位于第
站,选手抛掷均匀硬币进行游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第
站或第
站时,游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第
站的概率为
.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋子所走站数之和
的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)若最终棋子落在第站,则记选手落败,若最终棋子落在第
站,则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
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【题目】
已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求此几何体的体积V的大小;
(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
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【题目】在三棱锥中,OA、OB、OC所在直线两两垂直,且
,CA与平面AOB所成角为
,D是AB中点,三棱锥
的体积是
.
(1)求三棱锥的高;
(2)在线段CA上取一点E,当E在什么位置时,异面直线BE与OD所成的角为?
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【题目】如果存在常数a,使得数列{an}满足:若x是数列{an}中的一项,则a-x也是数列{an}中的一项,称数列{an}为“兑换数列”,常数a是它的“兑换系数”.
(1)若数列:2,3,6,m(m>6)是“兑换系数”为a的“兑换数列”,求m和a的值;
(2)已知有穷等差数列{bn}的项数是n0(n0≥3),所有项之和是B,求证:数列{bn}是“兑换数列”,并用n0和B表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列{cn},是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由.
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【题目】在边长为的等边三角形
中,点
分别是边
上的点,满足
且
,将
沿直线
折到
的位置. 在翻折过程中,下列结论成立的是( )
A.在边上存在点
,使得在翻折过程中,满足
平面
B.存在,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面
平面
C.若,当二面角
为直二面角时,
D.在翻折过程中,四棱锥体积的最大值记为
,
的最大值为
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【题目】在平面直角坐标系上,有一点列,设点
的坐标
(
),其中
. 记
,
,且满足
(
).
(1)已知点,点
满足
,求
的坐标;
(2)已知点,
(
),且
(
)是递增数列,点
在直线
:
上,求
;
(3)若点的坐标为
,
,求
的最大值.
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【题目】已知,函数
.
(1)求实数的值,使得
为奇函数;
(2)若关于的方程
有两个不同实数解,求
的取值范围;
(3)若关于的不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.
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