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【题目】已知函数

(1)求曲线的斜率为2的切线方程;

2)证明:

3)确定实数的取值范围,使得存在,,恒有

【答案】(1);(2)见解析;(3

【解析】

(1)求导,根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标,按照点斜式写出方程;

(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式;

(3)分类讨论,当时,不满足题意;当时,根据不等式的性质得出不满足题意;当时,构造函数,利用导数证明即可.

1)函数的定义域为.

.

,即,得(舍).

所以曲线的斜率为2的切线方程为

2)设,则

.

(舍).

时,

时,.

所以上单调递增,在上单调递减.

所以.

所以.

3)由(2)可知,

时,

所以不存在,当时,恒有

所以不符合题意.

②当时,对于

所以不存在,当时,恒有

所以不符合题意.

③当时,设.

因为

.

因为

解得.

又因为

所以.

.

时,

所以上单调递增.

所以.

.

所以符合题意.

所以实数的取值范围是.

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