Question

已知函数f（x）=asin（

π

2

+ωx）•sin（ωx+

π

3

）（a≠0，ω＞0，x∈R），函数y=f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）将函数 f（x）的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=

1

2

asin（2ωx+

π

3

）+

3

4

a，由周期可得ω=1；
（2）由图象变换可得g（x）=

1

2

asin（2x-

π

3

）+

3

4

a，由x∈[0，

π

2

]可得sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，对a分类讨论可得答案．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=asin（

π

2

+ωx）•sin（ωx+

π

3

）
=acosωx•（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）
=

1

2

asinωxcosωx+

3

2

acos²ωx
=

1

4

asin2ωx+

3

4

a（1+cos2ωx）
=

1

2

asin（2ωx+

π

3

）+

3

4

a
∵函数y=f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

asin（2x+

π

3

）+

3

4

a，
将函数 f（x）的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=

1

2

asin[2（x-

π

3

）+

π

3

]+

3

4

a=

1

2

asin（2x-

π

3

）+

3

4

a，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
当a＞0时，g（x）的最大值为

1

2

a×1+

3

4

a=

1

2

a+

3

4

a，
当a＜0时，g（x）的最大值为

1

2

a×（-

3

2

）+

3

4

a=0

点评：本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和分类讨论的思想，属中档题．