Question

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC上一点，D₁为B₁C₁的中点，A₁B∥平面ADC₁．
（1）证明：A₁D₁∥平面ADC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等边△ABC的面积为4

3

，求平面A₁AB与平面ADC₁所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用线面平行转化为线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得出线面平行．
（2）首先建立空间直角坐标系，求出各点对应的点的坐标，进一步求出向量的坐标，求出平面A₁AB与平面ADC₁的法向量，利用向量的夹角公式，求出平面夹角的大小．

解答： （1）证明：连接A₁C交AC₁于点E，连接DE，
已知：D₁为B₁C₁的中点，A₁B∥平面ADC₁，
平面A₁BC与平面ADC₁交于DE，
则：A₁B∥DE，
则：D是BC的中点，
由于D₁为B₁C₁的中点，
所以：A₁D₁∥AD，A₁D₁?平面ADC₁
所以：A₁D₁∥平面ADC₁
（2）解：建立空间直角坐标系A-xyz，
由于：AA₁⊥平面ABC，AA₁=3，等边△ABC的面积为4

3

，
解得：AB=BC=AC=4，
则：A（0，0，0），B（2

3

，-2，0），D（2

3

，0，0），A1(0，0，3)，C1(2

3

，2，3)
则：

AB

=(2

3

，-2，0)，

AA1

=(0，0，3)，

AD

=(2

3

，0，0)，

DC1

=(0，2，3)
设平面A₁AB的法向量为：

m

=(x，y，z)
所以：

m • AB =0 m • AA1 =0

解得：

m

=(1，

3

，0）
同理设平面ADC₁的法向量为：

n

=(x，y，z)
所以：

n • AD =0 n • DC1 =0

解得：

n

=(0，-3，2)
设平面A₁AB与平面ADC₁所成的锐二面角为θ
则：cosθ=|

m • n

| m || n |

|=

3 39

26

所以：平面A₁AB与平面ADC₁所成的锐二面角的余弦值为

3 39

26

．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质定理的应用，空间直角坐标系，法向量，二面角的应用．属于中等题型．