Question

5．在数列{a_n}中，a₁=2，na_n+1=（n+1）a_n+2（n∈N^*），则a_n=4n-2．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，得到$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答 解：由na_n+1=（n+1）a_n+2，得
$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}=2（1-\frac{1}{2}）$，
$\frac{{a}_{3}}{3}-\frac{{a}_{2}}{2}=2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$，
…
$\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
又a₁=2，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{1}}{1}+2（1-\frac{1}{n}）=2+2-\frac{2}{n}=4-\frac{2}{n}$（n≥2）．
∴a_n=4n-2（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
则a_n=4n-2．
故答案为：4n-2．

点评 本题主要考查数列的递推关系式，考查综合观察和转化能力，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．